জোড়সাঁকোর সবটা

রবি ঠাকুর বাড়ির ঠিক পাশেই আমার বাসা। দু কামরার ফ্ল্যাট। বিধান রায়ের আমলে গরিব মধ্যবিত্তের জন্য এসব ফ্ল্যাট তৈরী করা হয়েছিল। তার আগে জায়গাটা জলাজঙ্গল ছিলো। রবি ঠাকুরের সময় পয়প্রণালিও তৈরী হয়নি।

চোখের মণির মত দ্রুত

কলেজ স্কোয়ারে দাঁড়িয়ে দিব্যি ইতি উতি দেখছিলাম। বেজায় গরম। ফতুয়া পাজামার ফাঁক ফোকড় দিয়ে গরম হাওয়াটা ইন্তি বিন্তি খেলছে। রামকৃষ্ণদার দোকানে এক পেয়ালা চা বলব কিনা ভাবচি। এমন সময় একটুকরো বিচিত্রবার্তা কানে এলো, ‘সব ক’টা কপি বেরিয়ে গেছে বুজলে? পাবলিশারকে ফোন দিতে হবে।’

‘অভিযান’

‘অভিযান’ দেখে, খাতা পেন নিয়ে লিখতে ইচ্ছা করল। মনে হলো কলমের আঁচর আসল কাগজে ফুটিয়ে তোলা দরকার। মিতব্যয়ী হওয়া দরকার। ‘কাটব, লিখবো, আবার কাটবো’ – বলার অধিকারী হওয়া দরকার।

‘অভিযান’ নবজাগরণ উত্তীর্ণ বাঙালি যুবকের অস্থির বিচরণের গল্প। সেই যুবক, যে অসহ্য অস্বস্তী নিয়ে প্রশ্ন করতে পারে, “এর চেয়ে নির্জন জায়গা আর আছে?” অতলান্ত মরুভূমির বুকে তার প্রতিবিম্ব উত্তর শানায়, “হ্যাঁ নিজের ভেতরেই আছে।” ছায়াছবিতে এমনি কথপোকথন ঘটছিলো সৌমিত্র আর সত্যজিতের মধ্যে। আর দর্শকাসনে বসে ভাবছিলাম, এই যুবকদের দলে যেতে হবে। ভাবছিলাম যে ‘আমি’ এই যুবকদের কেমন একটা বদখত approximation হয়ে রয়ে গেছি।

সৌমিত্র চট্টোপাধ্যায়ের জীবনের গল্প বলেছেন পরমব্রত। বলতে বলতে ন্যারেটিভ ছাপিয়ে গেছেন অল্প আয়াসে। আমরা পরম-সৌমিত্র-র হাত ধরে, বিংশ শতাব্দীর বাঙালি যুবকের নিবিড়তম অন্ধকার, উজ্জ্বলতম নক্ষত্রে পৌঁছে গেছি।

ছবি যে পথে চলেছে তাতে ‘ক্লিশে’ গুলো ক্রমশ লঘু হয়ে এসেছে। সৌমিত্র-উত্তম, পরকীয়া, শিশির-সত্যজিত – এ সব কোলাহল স্তিমিত হয়ে এসেছে। আমরা মুখোমুখি দাঁড়িয়েছি সেই মানুষটার যার একমাত্র খুঁটি, ‘নিজের কাজের প্রতি কখনো অসৎ হইনি।’ তিনি সৌমিত্র চট্টোপাধ্যায়।

যীশু সেনগুপ্ত যুবক সৌমিত্র-এর ভূমিকায় অভিনয় করেছেন। মুশকিল হলো, যে শিক্ষা, বুদ্ধি আর অন্তর্মুখিনতার ত্রহ্যস্পর্শে সৌমিত্র নির্মিত, যীশুর জীবনে তার প্রয়োগ অনুপস্থিত। অতএব পঞ্চাশ থেকে সত্তরের যে বর্ণময় কলকাতা, যার বিভা, যার চেতনা, যার বিদ্রোহ সৌমিত্র-র মুখে প্রতিফলিত হওয়া উচিৎ, শক্তি, সুনীল, সন্দীপন-মহাবিশ্বের যে অংশিদারী দৃষ্টিপাতে থাকা উচিৎ, যীশুর মুখে চোখে তা হয়নি। শপিং মল গোছের চাউনিতেই থেমে গেছে। ইংলিশ মিডিয়াম-গ্রিনকার্ডের উমেদারী-গাড়ির ব্র্যান্ডের মধ্যযুগীয় identity-তে আটকে গেছে। তুলনায় উত্তমের ভূমিকায় প্রসেনজিত অনেক বেশি বিশ্বাসযোগ্য।

ছবি-কে অবশ্যই ধরে রেখেছেন সৌমিত্র স্বয়ং। পাওলি দাম, বাসবদত্তা, কিউ আর পরমব্রত, নিজস্ব পরিসরে ভালো কাজ করেছেন। বাসববত্তার কাজ আরো দেখতে ইচ্ছা করে।

‘অভিযান’ দেখে মনে হয়, পরমব্রত-র ভেতরটা, বাংলার সাংস্কৃতিক উত্তরাধিকারের বিপুল দায়ভার ভেঙে, ধীরে ধীরে মুক্তি পাচ্ছে। এখনো ছবির মধ্যে নেটফ্লিক্স গোছের মোলায়েম ভাব আনার একটা চেষ্টা রয়েছে। কিন্তু এসবের আড়াল থেকে উন্মুক্ত উড়ানের সম্ভাবনাও উঁকি দিচ্ছে।

এই ছবিটা দেখে আসুন। পরমব্রত আরো আরো ভালো কাজ করতে চলেছেন।

চৈতালি

লোকটা খুব হাসছে। হাসছে কিন্তু শব্দ হচ্ছে না। সারাদিন পরিশ্রম করে বাড়ি ফেরার পথে হঠাৎ বন্ধুর সাথে দেখা হলে যেমন হাসি ফুটে ওঠে, তেমনি। ‘খুব হাওয়া দিচ্ছে।’ লোকটা আরেকজনকে বলছে। ক্যানালের অন্য দিকের গাছগুলো, থেকে থেকে দুলে উঠছে। চৈতালি অপরাহ্নের বীরভূম। সোনাঝুরির কাছাকাছি।

Elegant solution

এখন চৈত্র মাস। কারণ পয়লা বৈশাখ কবে সেটা জানি। বোলপুরে চৈত্রের বিকেল তরুণ, অবগুন্ঠনহীন।

একটা দোতলা বাড়ির একতলার ঘরে আস্তানা নিয়েছি। ঘরের জানলা দিয়ে নিবিড় সবুজের সমারোহ দেখা যায়।

‘চিন্তন’-এর মোহানায় একা

অলোকরঞ্জন দাশগুপ্ত-র লেখায় মহাকবি গ্যোয়েটের একটা লাইন পেয়েছি, ‘Entbehren sollst du, sollst entbehren’ – বাইরের যখন সমস্ত বিরল তখনি নিজেকে ভালোরকম পাই।

Portrait of a teacher – my doctoral advisor

It is all true. Delta K is compact. Boundary is locally connected. All of it.

I never worry about getting a job. I am mercenary by nature. There is food out there. I can earn it.

I do worry about seeing the truth. I also worry a lot about doing a job right. Will I ever be able to definitively articulate a truth that was hitherto unknown? I read Socrates, Rabindranath, Hilbert. Their intellectual journey mesmerises me. I never imagined that my mercenary self will be able to face moments of truth in this insignificant life. But it is happening. The lethergy of my brain cells are unwinded by my teacher. After six years of shaky journey in mathematics, I am beginning to see shreds of truths.

I am still unsure why he took the pain of doing this. He surely has ten thousand other things to do. He has his own truths to uncover. He has scores of collaborations with experts in the field. Nevertheless he choses to spend two valuable hours of his life every week with me, year after year. With a child like enthusiasm he explains trivial vocabulary and non-trivial insights. At times I do not remember things he explained earlier. He stays unabashed and begins again from scratch.

There are weeks when turbulence of my personal life almost jeopardises this journey. He picks up the pieces every time. Almost magically I am able to reboot the process. We never speak about personal matters and get right to the point. I am even uncomfortable to respond to his ‘how are you?’ I tell myself, ‘every minute matters.’

In India, we have the custom of ‘pronam’. A student usually touches the feet of the teacher. It is an expression of respect. I could not offer pronam to my advisor before leaving the university. The pandemic came in the way. Even otherwise I would have been too shy to actually materialise this public display of respect.

My teachers have transformed me. James Clark, Swadhin Pattanayak, Amartya Mukherjee, my doctoral advisor. Whenever I reflect on the unkind parts of my life, I feel that they are insignificant compared to the kindness of my teachers. It is almost like they made my success their business.

Pronam sir.

স্বাক্ষর

প্রখ্যাত গণিতজ্ঞ হার্ডি লিখেছেন, ‘a mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas.’

অথচ আমরা স্পষ্ট জানি যে কিছুই থাকে না। থাকে কি? থাকে না সেটা জানি বলা ঠিক নয়। চিরকালীন বলে কিছু হয় কিনা জানতে হলে চিরকাল থাকতে হবে। অতএব বলা ভালো যে পার্মানেন্ট বলে কিছু হয় কিনা সেটা আমরা জানিনা। ‘মোর পার্মানেন্ট’ কিন্তু ‘পার্মানেন্ট’ নয়। যেমন ‘বেটার’ মানেই ‘গুড’ নয়। এই অমরত্ত্বের প্রত্যাশার মধ্যে অলীক মায়া প্রচ্ছন্ন হয়ে আছে। বলতে দ্বিধা নেই যে আমিও আপাতত মায়াচ্ছন্ন হয়ে আছি।

সম্প্রতি আমার এ্যাডভাইসার ক্রিস (এবং আমি নিজে) কিঞ্চিৎ উৎফুল্ল বোধ করছি। একটা তেইশ বছরের পুরোনো গাণিতিক কনজেকচার সমাধান করা গেছে। বিগত ছয় বছরের পরিশ্রম একটা পরিণতি পাচ্ছে। আনন্দ হওয়ারই কথা। পেপার হিসেবে প্রকাশিত হওয়ার আগেই ভ্যান্ডারবিল্টের অন্য দুজন গবেষকের পেপারে আমাদের সমাধানটির সাইটেশন হয়ে গেছে। তারা অবশ্য আমার ডকটরাল থিসিসটাকেই সাইট করেছেন।

যারা গবেষণার জগতে আছেন, তাদের কাছে সাইটেশন বস্তুটি লোভনীয়। সাইটেশনের অর্থ হলো আমার থিয়েরেমটি অন্য একজন তার গবেষণায় ব্যবহার যে করছেন তা উল্লেখিত হওয়া। সেই ‘অন্য একজন’ যদি গুরুত্ত্বপূর্ণ গবেষক হন তাহলে তো কথাই নেই। জোর সম্ভাবনা যে অমরত্ত্বের প্রত্যাশা বুকে খলবলিয়ে উঠবে।

বাঙালি কিন্তু অমরত্ত্বের পরোয়া করে না। সে বছর বছর মুর্তি বানায়। স্রেফ পাঁচ দিনের জন্য প্রচন্ড আয়োজন করে। তারপর সেসব ফালাইয়া থোয়। আসছে বছর আবার হবে! বাঙালির অভিধানে পার্মানেন্সি, ডিটারমিনিসম, অমরত্ত্বের প্রত্যাশা সবই যেন কমের দিকে। অন্তত জাতটার অভিমুখটা তাই মনে হয়। অমর্ত্য সেন তার সাম্প্রতিক বই ‘Home in the world’-এ বাঙালির আড্ডার বিষয়ে লিখেছেন, ‘idle chatting without intention’। অতএব আড্ডা বস্তুটিও যাবতীয় অমরত্ত্বের প্রত্যাশার মুখে ঝাঁটা মেরে দিব্যি বেঁচে বর্তে আছে। Intent না থাকলে ‘প্রত্যাশা’ আর থাকবে কি করে? আর সেই কি সত্য নয়?

চলতি

বাইরে খুব ঝড় হচ্ছে। চুপ করে বসে আছি। আজ রোববার। রাস্তায় ভীড় নেই। করুণাময়ীর মোড়ের কাছে শুনশান ধরিত্রী। আকাশের রংটা ঠিক কেমন ছিলো বলো তো?

হিলবার্টের দ্বাদশ সমস্যা – সমিত দাশগুপ্ত, মহেশ কাকড়ে

সমিত দাশগুপ্ত এবং মহেশ কাকড়ে হিলবার্টের দ্বাদশ সমস্যাটি সমাধান করে ফেলেছেন। শতক প্রাচীন দুরুহ প্রশ্ন।

জার্মান গণিতজ্ঞ হিলবার্ট ১৯০০ সালে ২৩টি গাণিতিক সমস্যার একটা লিস্ট বানিয়েছিলেন। সমস্যা গুলো পরবর্তী শতকে বহু গণিতজ্ঞকে ভাবিয়েছে। এইটি তারই একটি। (দৈনিক আনন্দবাজার দাশগুপ্ত-কাকড়ে-র কাজটি নিয়ে একটি প্রতিবেদন লিখেছেন। দুঃখের বিষয় সেখানে বাঙালি-টাঙালি বলে কিসব একটা যেন তারা করতে চেয়েছেন। মুল সমস্যাটা নিয়ে কোনো কথা লেখেননি। সমাধানের প্রকরণ তো অউর দূর কি বাত)।

আমি নাম্বার থিয়োরিস্ট নই। তবু একটা চেষ্টা করছি সমস্যাটা কি বোঝানোর। খানিকটা ধৈর্য লাগবে। কিন্তু বোঝা যাবে। কতক গুলো শব্দ জানতে হবে।

[ফিল্ড] হচ্ছে এমন একটি সেট, যার মধ্যে থেকে যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ* করা যায়। ফিল্ডের যে কোনো দুটো সদস্যকে যোগ বা বিয়োগ করলে, সেই সেটের আরেকটি সদস্য পাওয়া যাবে। ফিল্ডের যে কোনো দুটো সদস্যকে গুণ অথবা ভাগ করলে, সেই সেটের আরেকটি সদস্য পাওয়া যাবে।

ফিল্ড যেন এক স্বয়ংসম্পুর্ণ জগৎ। যা হবে সেটের মধ্যেই হবে বাইরে বেরোবে না।

উদাহরণঃ { ১/২, ৫/৩, ০, -৩/৪, … } – সমস্ত rational number (অর্থাৎ যে সব সংখ্যাকে দুটো গোটা সংখ্যার অনুপাত হিসেবে লেখা সম্ভব, তাদের সেট।

[গ্রুপ] হচ্ছে এমন একটি সেট যার মধ্যে থেকে শুধু যোগ বিয়োগ করা যাবে।
‘যোগ’ বলছি বটে কিন্তু সদস্যরা যদি সংখ্যা না হয়? তাহলেও যদি দুটি সদস্যকে ‘মিলিত’ করার কোনো পদ্ধতি বলতে পারি তাহলে সেই অপারেশনটিকে যোগের বদলে # বলব। মাথায় রাখতে হবে যে গ্রুপের সদস্যরা সংখ্যা নাও হতে পারে।

উদাহরণঃ {… -৩, -২, -১, ০, ১, ২, ৩, … } … সমস্ত গোটা সংখ্যা। যে কোনো দুটো গোটা সংখ্যাকে যোগ করলে অথবা বিয়োগ করলে গোটা সংখ্যাই পাওয়া যায়।

[ফিল্ড এক্সটেনশন] – একটা ফিল্ড যদি আরেকটার পেটের মধ্যে থাকে তাহলে বড় জন-কে ছোটটির ফিল্ড এক্সটেনশন বলা যাবে।

[Abelian গ্রুপ] – ধরা যাক G = {a, b, c, d, … } একটি গ্রুপ। যদি a#b = b#a হয় তাহলে গ্রুপটিকে Abelian বলা হয়। কিছু কিছু গ্রুপের ক্ষেত্রে এমনটা হয় না। তারা Abelian নয়।
আমাদের কারবার হবে একটা ফিল্ড ‘ক’ এবং তার এক্সটেনশন ‘খ’ কে নিয়ে। ‘ক’ হচ্ছে ছোট জন। আরে তাকে পেটের মধ্যে রেখেছে বড়জন।

ক –> খ অবধি আমরা ফাংশন বানাতে পারি। ফাংশন মানে কি? ব্যাপারটা রংমিলন্তির মত। ক-এর প্রতিটি সদস্যকে কোনো একটা নিয়মে খ-এর সদস্যদের সাথে মিলিয়ে দিতে হবে। এই মিলিয়ে দেওয়ার এক একটি নিয়ম হচ্ছে এক একটি ফাংশন। এরকম অনেক নিয়ম (অনেক ফাংশন) থাকতে পারে। ফাংশন গুলোর একটি সেট বানানো যাক।

ক –> ক অবধিও ফাংশন হতে পারে। ক-এর সদস্যদের ক-এরই অন্য সদস্যদে সাথে মিলিয়ে দেওয়া যায়।

যেমন ধরা যাক ক = {সাহেব, বিবি, গোলাম}। এবার ক থেকে ক অবধি মিলন্তি খেলা যাক। ফাংশন বানানো যাক।

• ফাংশন ১ঃ
  • সাহেব –> বিবি,
  • বিবি –> গোলাম,
  • গোলাম –> সাহেব
    

• ফাংশন ২ঃ
  • সাহেব –> সাহেব,
  • বিবি –> গোলাম,
  • গোলাম –> বিবি
    

এমন আরো কতো ফাংশন হতে পারে। ফাংশনদের সেটা কে আমরা Automorphism বলব।
‘ক’ একটা ফিল্ড। খ হচ্ছে ক-এর ফিল্ড এক্সটেনশন। অর্থাৎ ক আছে খ-এর মধ্যেই। এবার খ –> খ সব automorphism গুলো দেখা যাক। এর মধ্যে কতকগুলো ‘ভালো ফাংশন’। ভালো ফাংশন গুলোর একটা গুণ আছে। তারা ছোট ভাইকে ঘরছাড়া করবে না। অর্থাৎ x যদি ক এর সদস্য হয়, তাহলে ভালো ফাংশন x কে x -এর সাথেই মিলিয়ে দেবে। নড়া চড়া করাবে না।
এই ভালো ফাংশনের সেট-কে গ্যালোয়াঁ গ্রুপ বলা হয়। যদি এই গ্রুপটি abelian হয় তাহলে খ-কে ক-এর abelian field extension** বলা হয়।

হিলবার্ট শুধোলেন যদি L যে কোনো ফিল্ড হয় এবং K তার abelian এক্সটেনশন হয় তাহলে এই K -কে L -এর থেকে গড়ে তুলতে কি কি অতিরিক্ত সদস্য লাগবে? K যেহেতু L -এর বড়ভাই, বড় সেট যার মধ্যে L আছে, তাহলে K -এর মধ্যে আরো কিছু থাকতে হবে। এই ‘আরো কিছু’-রা কারা? [যদি যানা থাকে যে এক্সটেনশনটি abelian]।

সমিত দাশগুপ্ত, মহেশ কাকড়ে এই প্রশ্নটির উত্তর খুঁজে বার করেছেন।
———–অশনি আরণ্যক ———–

**algebraic abelian extension

*ফিল্ডের মধ্যে ০ থাকবে। তাকে দিয়ে ভাগ করা যাবে না।